\subsection{等比数列}\label{subsec:2-3}

看下面的数列：
$$ 1,\; 2,\; 4,\; 8,\; \cdots \text{。}$$
这个数列有这样的特点： 从第 $2$ 项起， 每一项与它前一项的比都等于常数 $2$ 。

一般地，如果一个数列从第 $2$ 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，
这个数列就叫做\textbf{等比数列}， 这个常数叫做等比数列的\textbf{公比}，
公比通常用字母 $q$ 表示。例如，数列
$$ 5,\quad 25,\quad 125,\quad 625,\quad \cdots $$
与
$$ 1,\quad -\dfrac{1}{2},\quad \dfrac{1}{4},\quad -\dfrac{1}{8},\quad \cdots $$
都是等比数列，它们的公比分别是 $5$ 与 $-\dfrac{1}{2}$。

因为在一个等比数列里，从第 $2$ 项起，每一项与它的前一项的比都等于公比，
所以每一项都等于它的前一项乘以公比。这就是说，如果等比数列
$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，$\cdots$ 的公比是 $q$，那么

$\qquad \begin{aligned}
    a_2 &= a_1 q, \\
    a_3 &= a_2 q = (a_1 q)q = a_1 q^2, \\
    a_4 &= a_3 q = (a_1 q^2)q = a_1 q^3, \\
    &\cdots\cdots \qquad\qquad \cdots\cdots \text{。}
\end{aligned}$ \\
由此可知，等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是
\begin{center}
    \framebox{\begin{minipage}{12em}
        \begin{gather*}
            a_n = a_1  q^{n - 1} \text{。}
        \end{gather*}
    \end{minipage}}
\end{center}

上面的公式还可以改写成
$$ a_n = \dfrac{a_1}{q} q^n = c q^n \text{，}$$
这里 $c = \dfrac{a_1}{q}$ ，它是一个不为零的常数。当 $q$ 是不等于 $1$ 的正数时，
$y = q^x$ 是一个指数函数，而函数 $y = c q^x$ 是一个不为零的常数与指数函数的积。
因此， 从图上看，表示数列 $\{c q^n\}$ 各项的点都在函数 $y = c q^x$ 的图像上。
例如，当 $a_1 = 1$，$q = 2$ 时，
$$ a_n = \dfrac{1}{2} \cdot 2^n \text{，}$$
表示数列各项的点都在函数 $y = \dfrac{1}{2} \cdot 2^x$ 的图像上（图 \ref{fig:2-6}）。

\begin{wrapfigure}[22]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch2-6}
    \caption{}\label{fig:2-6}
\end{wrapfigure}

\liti 培育水稻新品种，如果第 $1$ 代得到 $120$ 粒种子，并且从第 $1$ 代起，
以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 $120$ 粒种子，到第 $5$ 代大约可以
得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？

\jie 由于每代的种子数是它的前一代种子数的 $120$ 倍，逐代的种子数组成等比数列，
记为 $\{a_n\}$ ，其中 $a_1 = 120$，$q = 120$，因此，
$$ a_5 = 120 \times 120^{5 - 1} \approx 2.5 \times 10^{10} \text{。} $$

答：到第 $5$ 代大约可以得到种子 $2.5 \times 10^{10}$ 粒。


\liti 一个等比数列的第 $3$ 项与第 $4$ 项分别是 $12$ 与 $18$，求它的第 $1$ 项与第 $2$ 项。

\jie 设这个等比数列的第 $1$ 项是 $a_1$，公比是 $q$，那么
\begin{align*}
    a_1 q^2 &= 12, \tag{$1$} \\
    a_1 q^3 &= 18  \tag{$2$}
\end{align*}
解 (1)，(2) 所组成的方程组，得
$$ q = \dfrac{3}{2}, \quad a_1 = \dfrac{16}{3} \text{，} $$
因此，
$$ a_1 q = \dfrac{16}{3} \times \dfrac{3}{2} = 8 \text{。} $$

答： 这个数列的 $1$ 项与第 $2$ 项分别是与 $\dfrac{16}{3}$ 与 $8$。


\liti 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的 $174$ 元降到 $58$ 元。
这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少（ 精确到 $1\%$）？

\jie 设平均每次降价的百分率是 $x$，那么每次降价后的单价应是降价前的 $(1 - x)$ 倍。
这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为 $\{a_n\}$ ，其中
$$ a_1 = 174,\quad a_4 = 58,\quad n = 4 \text{。} $$
由等比数列的通项公式，得
$$ 58 = 174 \times (1 - x)^{4 - 1} \text{。}$$
整理后，得
\begin{align*}
    (1 - x)^3 &= \dfrac{1}{3} , \\
    1 - x &= \sqrt[3]{\dfrac{1}{3}} \\
    &= 0.693 \text{，}
\end{align*}
因此，
\begin{align*}
    x &= 1 - 0.693 \\
      &\approx 31\% \text{。}
\end{align*}

答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是 $31\%$。

如果在 $a$ 与 $b$ 中间插入一个数 $G$，使 $a$，$G$，$b$ 成等比数列，那么 $G$ 叫 $a$ 与 $b$ 的\textbf{等比中项}。

如果 $G$ 是 $a$ 与 $b$ 的等比中项，那么 $\dfrac{G}{a} = \dfrac{b}{G}$，即 $G^2 = ab$，因此，
$$ G = \pm \sqrt{ab} \text{。}$$

容易看出，一个等比数列从第 $2$ 项起， 每一项（有穷等比数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。

\lianxi

\begin{xiaotis}


\xiaoti{已知等比数列 $\{a_n\}$ ，问：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$a_1$ 能不能是零？} & \xiaoxiaoti{公比 $q$ 能不能是零？}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下面等比数列的第 $4$ 项与笫 $5$ 项：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$5$，$-15$，$45$，$\cdots$；} & \xiaoxiaoti{$1.2$，$2.4$，$4.8$，$\cdots$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{3}{8}$，$\cdots$；} & \xiaoxiaoti{$\sqrt{2}$，$1$，$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cdots$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{一个等比数列的第 $9$ 项是 $\dfrac{4}{9}$，公比是 $-\dfrac{1}{3}$，求它的第 $1$ 项；}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{一个等比数列的第 $2$ 项是 $10$，第 $3$ 项是 $20$，求它的第 $1$ 项与第 $4$ 项。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{已知等比数列 $\{a_n\}$ 的 $a_2 = 2$，$a_5 = 54$，求 $q$；}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{已知等比数列 $\{a_n\}$ 的 $a_1 = 1$，$a_n = 256$，$q = 2$，求 $n$；}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

\,

下面我们来求等比数列
$$ a_1,\; a_2,\; a_3,\; \cdots,\; a_n,\;  \cdots $$
前 $n$ 项的和 $S_n$。

根据等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式，等比数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项的和可以写成：
\begin{gather*}
    S_n = a_1 + a_1 q + \cdots + a_1 q^{n-2} + a_1 q^{n-1} \text{。} \tag{$1$}
\end{gather*}

我们知道，将等比数列的每一项乘以公比，就得到它后面邻的一项。现将 (1) 的两边分别乘以公比 $q$ ，得到
\begin{gather*}
    q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1} + a_1 q^n \text{。} \tag{$2$}
\end{gather*}

比较 (1) 和 (2) ， 我们看到， (1) 的右边从第 $2$ 项到最后一项， 与 (2) 的右边从第 $1$ 项到倒数第 $2$ 项完全相同。
于是，从 (1) 的两边分别减去 (2) 的两边，可以消去这些相同项，得到
$$ (1 - q)S_n = a_1 - a_1 q^n \text{。} $$

由此得到 $q \neq 1$ 时等比数列 $\{a_n\}$ 的前项的和的公式
\begin{center}
    \framebox{\begin{minipage}{12em}
        \begin{gather*}
            S_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \text{。}
        \end{gather*}
    \end{minipage}}
\end{center}

因为
$$ a_1 q^n = (a_1 q^{n - 1})q = a_n q \text{，}$$
所以上面的公式还可以写成
\begin{center}
    \framebox{\begin{minipage}{12em}
        \begin{gather*}
            S_n = \dfrac{a_1 - a_n q}{1 - q} \text{。}
        \end{gather*}
    \end{minipage}}
\end{center}

很明显，当 $q = 1$ 时，$S_n = n a_1$ 。

\liti 求等比数列 $\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{8}$，$\cdots$ 的前 $8$ 项的和。

\jie $\because \quad a_1 = \dfrac{1}{2},\; q = \dfrac{1}{2},\; n = 8,$

$\therefore \quad  S_8 = \dfrac{\dfrac{1}{2} \left[ 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^8 \right]}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{255}{256} \text{。} $


\liti 某制糖厂今年制糖 $5$ 万吨，如果平均每年的产量比上一年增加 $10\%$，那么从今年起，几年内可以使总产量达到 $30$ 万吨（保留到个位）？

\jie 由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列，记为 $\{a_n\}$ ，其中
$$ a_1 = 5, \quad q = 1 + 10\%  = 1.1, \quad S_n = 30 \text{，} $$
于是得到
$$ \dfrac{5(1 - 1.1^n)}{1 - 1.1} = 30 \text{。} $$

整理后，得
$$ 1.1^n = 1.6 \text{。} $$
两边取对数，得
$$ n\lg 1.1 = \lg 1.6 \text{。} $$
$\therefore \quad n = \dfrac{\lg 1.6}{\lg 1.1} = \dfrac{0.2041}{0.0414} \approx 5 \text{。}$

答：$5$ 年内可以使总产量达到 $30$ 万吨。


\liti 已知无穷数列
$$ 10^\frac{0}{5},\; 10^\frac{1}{5},\; 10^\frac{2}{5},\; \cdots,\; 10^\frac{n-1}{5},\; \cdots, $$
求证：

（1）这个数列是等比数列；

（2）这个数列中的任意一项是它后面第 $5$ 项的 $\dfrac{1}{10}$；

（3）这个数列中任意两项的积仍然在这个数列中。

\zhengming （1）这个数列中的第 $n$ 项与第 $n + 1$ 项分别是 $10^\frac{n-1}{5}$ 与 $10^\frac{n}{5}$ $(n \geqslant 1)$，
于是第 $n + 1$ 项与第 $n$ 项的比为
$$ \dfrac{10^\frac{n}{5}}{10^\frac{n-1}{5}} = 10^{\frac{n}{5} - \frac{n-1}{5}} = 10^\frac{1}{5} \text{，}$$
即它们的比值是常数 $10^\frac{1}{5}$ 。因此这个数列是以 $10^\frac{1}{5}$ 为公比的等比数列。

（2）这个数列第 $n$ 项与第 $n + 5$ 项分别是 $10^\frac{n-1}{5}$ 与 $10^\frac{n+4}{5}$ $(n \geqslant 1)$，于是
$$ \dfrac{10^\frac{n-1}{5}}{10^\frac{n+1}{5}} = 10^{\frac{n-1}{5} - \frac{n+4}{5}} = 10^{-\frac{5}{5}} = \dfrac{1}{10} \text{，}$$
这说明，这个数列中的任意一项经过 $5$ 次等比的递增以后，变大到它本身的 $10$ 倍。
例如，数列中第 $3$ 项是 $10^\frac{2}{5}$ ，第 $8$ 项就变大到 $10 \times 10^\frac{2}{5}$ 。

（3） 从这个数列中任意取出两项，假定它们分别是第 $n_1$ 项与第 $n_2$ 项， 即 $10^\frac{n_1 - 1}{5}$ 与 $10^\frac{n_2 - 1}{5}$，这里，$n_1,\; n_2 \in N$ ，于是
$$ 10^\frac{n_1 - 1}{5} \times 10^\frac{n_2 - 1}{5} = 10^{\frac{n_1 - 1}{5} + \frac{n_2 - 1}{5}} = 10^\frac{(n_1 + n_2 -1) - 1}{5} \text{。}$$

因为 $n_1 \geqslant 1$，$n_2 \geqslant 1$ ，所以 $n_1 + n_2 \geqslant 2$ ，即
$$ n_1 + n_2 - 1 \geqslant 1 \text{。}$$
又因为 $n_1,\; n_2 \in N$ ，所以 $n_1 + n_2 - 1 \in N$ 。这就证明 $10^\frac{(n_1 + n_2 -1) - 1}{5}$ 属于
上述数列，而且是数列的第 $n_1 + n_2 - 1$ 项。


\lianxi
\begin{xiaotis}
\setcounter{cntxiaoti}{0}

\xiaoti{根据下列各题中的条件，求相应的等比数列 $\{a_n\}$ 的 $S_n$ ：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$a_1 = 3$，$q = 2$，$n = 6$；}

    \xiaoxiaoti{$a_1 = 2.4$，$q = -1.5$，$n = 5$；}

    \xiaoxiaoti{$a_1 = 8$，$q = \dfrac{1}{2}$，$n = 5$；}

    \xiaoxiaoti{$a_1 = -2.7$，$q = -\dfrac{1}{3}$，$n = 6$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{求等比数列 $1$，$2$，$4$，$\cdots$ 从第 $5$ 项到第 $10$ 项的和；}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{求等比数列 $\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{3}{4}$，$\dfrac{3}{8}$，$\cdots$ 从第 $3$ 项到第 $7$ 项的和。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

